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La propiedad transitiva es uno de los pilares de la lógica matemática que aprendemos desde pequeños. Parece tan evidente que casi no merece cuestionamiento: si el número 10 supera al 5, y el 5 supera al 2, entonces indudablemente 10 debe superar al 2. Esta cadena de razonamientos funciona sin fisuras en la aritmética tradicional.
Sin embargo, existe un territorio fascinante donde esta certeza se desmorona. En el ámbito de la probabilidad y las variables aleatorias, las comparaciones pueden comportarse de manera completamente distinta, generando resultados que desafían nuestra intuición más básica.
Para ilustrar este fenómeno, consideremos cuatro dados especiales, cada uno con seis caras pero con distribuciones numéricas poco convencionales:
- Dado A: cuatro caras muestran 4 y dos caras muestran 0
- Dado B: las seis caras presentan el número 3
- Dado C: cuatro caras exhiben 2 y dos caras muestran 6
- Dado D: tres caras indican 5 y tres caras indican 1
El mecanismo del juego es elemental: se lanzan dos dados simultáneamente y resulta ganador quien obtenga el número más elevado en su tirada.
El círculo imposible de la probabilidad
Lo que sucede a continuación desconcierta incluso a quienes tienen formación matemática. Cuando se enfrentan estos dados entre sí, emergen resultados que forman una cadena circular imposible:
- El dado A vence al dado B aproximadamente en dos de cada tres enfrentamientos (66,7%)
- El dado B vence al dado C en la misma proporción de dos de cada tres tiradas
- El dado C vence al dado D también en dos de cada tres ocasiones
- El dado D vence al dado A en dos de cada tres lanzamientos
No se trata de un error de cálculo ni de un truco matemático. Cada comparación es verificable y reproducible. Sin embargo, el conjunto genera un bucle cerrado donde A supera a B, B supera a C, C supera a D, y D supera a A. Es una paradoja que viola todo lo que creemos saber sobre la lógica transitiva.
¿Dónde reside la diferencia fundamental?
La clave para entender este fenómeno radica en distinguir entre números fijos y variables aleatorias. En la aritmética convencional, comparamos valores estáticos y definidos. Allí, la transitividad reina sin cuestionamientos.
Pero en este escenario, no estamos comparando números inmutables. Cada dado representa una distribución de probabilidad distinta, con sus propios patrones de resultados posibles. Lo relevante no es el valor promedio que cada uno podría producir, sino la probabilidad concreta de que un dado supere al otro en un enfrentamiento directo.
En este contexto probabilístico, la relación transitiva simplemente no existe. Las comparaciones entre variables aleatorias obedecen a reglas diferentes a las que rigen en la aritmética pura. Esta es la razón por la cual el sentido común nos abandona ante estos dados aparentemente traviesos.
Un concepto pedagógico de gran valor
Este ingenioso ejemplo fue desarrollado por Bradley Efron, un estadístico estadounidense de renombre internacional y pionero en metodologías estadísticas modernas. Su propósito era demostrar de manera contundente que las comparaciones probabilísticas pueden ser lógicamente coherentes pero profundamente contraintuitivas.
Hoy en día, los dados no transitivos de Efron se han convertido en una herramienta educativa fundamental en aulas de matemática, estadística y teoría de juegos alrededor del mundo. Funcionan como un puente que conecta la teoría abstracta con la experiencia tangible, mostrando a estudiantes y profesionales que el azar puede generar patrones coherentes que desafían nuestra lógica cotidiana.
Este fenómeno nos recuerda una lección profunda: la realidad matemática es más compleja y matizada de lo que nuestras intuiciones iniciales sugieren. A veces, las reglas que creemos universales tienen límites inesperados, y esos límites son precisamente donde comienza el verdadero aprendizaje.
